直感では騙される数学問題２

またまた騙され数学ネタ

ちょっと知ってると話のネタになると思います。

3囚人問題

http://ja.wikipedia.org/wiki/3%E5%9B%9A%E4%BA%BA%E5%95%8F%E9%A1%8C#.E3.83.A2.E3.83.B3.E3.83.86.E3.82.A3.E3.83.BB.E3.83.9B.E3.83.BC.E3.83.AB.E5.95.8F.E9.A1.8C.E3.81.A8.E3.81.AE.E9.A1.9E.E4.BC.BC
ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうち1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか?」と聞いても看守は答えない。
囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「私以外の2人のうち少なくとも1人は死刑になるはずだ。その者の名前が知りたい。私のことじゃないんだから教えてくれてもよいだろう?」すると看守は「Bは死刑になる」と教えてくれた。それを聞いた囚人Aは「これで助かる確率が1/3から1/2に上がった」とひそかに喜んだ。果たして囚人Aが喜んだのは正しいか?

どうですか？　Aの立場に立ってみると、今まで3人のうち1人が助かると思ってたところに、Bは死刑になるという情報が入ってきました。ってことは、自分(A)かC、2人のうち1人が助かるってことだから、助かる確率が増えた気がするんだよね。ところが、Aが恩赦になる確率は1/3で変わってないんです。しかもCが助かる確率は1/3から2/3に増えちゃうという理不尽さ。

実はこれ前回のエントリ『直感では騙される数学問題 - おれブログ』で紹介したモンティ・ホール問題とほぼ同じ構成になってます。看守＝モンティ、3囚人＝3つのドア、囚人A＝参加者、恩赦＝車、死刑＝ヤギという構成。違うのは看守からの情報を得た後、囚人Aが行動を変えることができないというだけ。

なので、こう考えるといい感じに理解しやすい。

まず囚人100人がまとめて処刑される設定。ひどすぎる設定だがｗ　そんで、そのうち1人だけが恩赦になるよってことに。この時点でAが助かる見込みは1/100。やっぱ絶望的だ。

んで、看守はA以外の99人のうち処刑される98人について教えてくれる。そうして99人から残ったのがCだ。これなら直感的にAの助かる見込みは相変わらず1/100だが、Cは元々1/100だった確率が99/100になったことが直感的に分かるでしょ。

消えた1ドル

旅の途中の3人の男がホテルに入りました。
そのホテルで空いていた部屋の宿泊代は一泊30ドル。
3人は1人10ドルずつ支払い、一晩泊まりました。
翌日になり、ホテルのオーナーは部屋代が本当は25ドルだったことに気がついたので、差額を返すためにボーイに5ドル渡して返金してくるように言いつけました。
ところがボーイは2ドルを自分のポケットに入れてしまい、3人には1ドルづつ返しました。
ここからが問題です。
3人の男は結局宿泊代を1人9ドルずつ支払ったことになり、合計は27ドルです。
それにボーイがポケットに入れた2ドルを足すと、29ドルです。
あとの1ドルはどこへ行ったのでしょうか。

これはネットでもよく見かけますね。でもこれ問題をよーく読むとおかしなことを言っていることに気がつく。

「3人の男は結局宿泊代を1人9ドルずつ支払ったことになり、合計は27ドルです。」これはOK

「それにボーイがポケットに入れた2ドルを足すと、29ドルです。」ここがおかしい。支払いからくすねた2ドルをまた支払いに足しちゃってるのがおかしい。

お金の移動は単純で、3人が支払った27ドルのうち、25ドルがオーナーに、2ドルがボーイに渡ったというだけの話。

つまりこの取り引きからできる式は　25+2＝27　という式だけ。こんな感じ。